Java基础，

下面的文字说明引用了  int64Ago 的一篇博文。

用什么语言来形容当时的感觉呢？……太神奇了！真的，无法表达出那种感觉，她是那么的优雅，10行不到的代码，却把事情干的如此出色！没有了解她原理的前提下即使把代码倒背如流也理解不了！下面我争取用自己的方式让更多人明白她，而不是背诵她。为了更方便的说明，文章里会自己强加一些概念，只是为了更好的理解，不是什么专业术语之类的。

一、树状数组是干什么的？

       平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作，比较常见的如，修改某点的值、求某个区间的和，而这两种恰恰是树状数组的强项！当然，数据规模不大的时候，对于修改某点的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)，别小看这个lg，很大的数一lg就很小了，这个学过数学的都知道吧，不需要我说了。申明一下，看下面的文章一定不要急，只需要看懂每一步最后自然就懂了。

二、树状数组怎么干的？

        先看两幅图（网上找的，如果雷同，不要大惊小怪～），下面的说明都是基于这两幅图的，左边的叫A图吧，右边的叫B图：

是不是很像一颗树？对，这就是为什么叫树状数组了～先看A图，a数组就是我们要维护和查询的数组，但是其实我们整个过程中根本用不到a数组，你可以把它当作一个摆设！c数组才是我们全程关心和操纵的重心。先由图来看看c数组的规则，其中c8 = c4+c6+c7+a8，c6 = c5+a6……先不必纠结怎么做到的，我们只要知道c数组的大致规则即可，很容易知道c8表示a1～a8的和，但是c6却是表示a5～a6的和，为什么会产生这样的区别的呢？或者说发明她的人为什么这样区别对待呢？答案是，这样会使操作更简单！看到这相信有些人就有些感觉了，为什么复杂度被lg了呢？可以看到，c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和，而其中左半边和是确定的c4，右半边其实也是同样的规则把a5～a8一分为二……继续下去都是一分为二直到不能分，可以看看B图。怎么样 ？是不是有点二分的味道了？对，说白了树状数组就是巧妙的利用了二分，她并不神秘，关键是她的巧妙！

它又是怎样做到不断的一分为二呢？说这个之前我先说个叫lowbit的东西，lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1,比如10的二进制是1010,则lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2进制)，介于这个lowbit在下面会经常用到，这里给一个非常方便的实现方式，比较普遍的方法lowbit(k)=k&-k，这是位运算，我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了！明白了求解lowbit的方法就可以了，继续下面。介于下面讨论十进制已经没有意义（这个世界本来就是二进制的，人非要主观的构建一个十进制），下面所有的数没有特别说明都当作二进制。

上面那么多文字说lowbit，还没说它的用处呢，它就是为了联系a数组和c数组的！ck表示从ak开始往左连续求lowbit(k)个数的和，比如c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是从110开始计算了0010个数的和，因为lowbit(0110)=0010，可以看到其实只有低位的1起作用，因为很显然可以写出c[0010]=a[0010]+a[0001]，这就为什么我们任何数都只关心它的lowbit，因为高位不起作用（基于我们的二分规则它必须如此！），除非除了高位其余位都是0，这时本身就是lowbit。既然关系建立好了，看看如何实现a某一个位置数据跟改的，她不会直接改的（开始就说了，a根本不存在），她每次改其实都要维护c数组应有的性质，因为后面求和要用到。而维护也很简单，比如更改了a[0011]，我们接着要修改c[0011],c[0100],c[1000]，这是很容易从图上看出来的，但是你可能会问，他们之间有申明必然联系吗？每次求解总不能总要拿图来看吧？其实从0011——>0100——>1000的变化都是进行“去尾”操作，又是自己造的词--''，我来解释下，就是把尾部应该去掉的1都去掉转而换到更高位的1,记住每次变换都要有一个高位的1产生，所以0100是不能变换到0101的，因为没有新的高位1产生，这个变换过程恰好是可以借助我们的lowbit进行的，k +=lowbit(k)。

好吧。现在更新的次序都有了，可能又会产生新的疑问了：为什么它非要是这种关系啊？这就要追究到之前我们说c8可以看作a1～a8的左半边和+右半边和……的内容了，为什么c[0011]会影响到c[0100]而不会影响到c[0101]，这就是之前说的c[0100]的求解实际上是这样分段的区间 c[0001]~c[0001] 和区间c[0011]~c[0011]的和，数字太小，可能这样不太理解，在比如c[0100]会影响c[1000]，为什么呢？因为c[1000]可以看作0001～0100的和加上0101~1000的和，但是0101位置的数变化并会直接作用于c[1000]，因为它的尾部1不能一下在跳两级在产生两次高位1,是通过c[0110]间接影响的，但是，c[0100]却可以跳一级产生一次高位1。

可能上面说的你比较绕了，那么此时你只需注意：c的构成性质（其实是分组性质）决定了c[0011]只会直接影响c[0100]，而c[0100]只会直接影响[1000]，而下表之间的关系恰好是也必须是k +=lowbit(k)。

lowbit(a)为2^(a的二进制表示末尾0的个数)。可以用下面式子求出：

lowbit(a)=a&(a ^ (a-1))
//或
lowbit(a)=a&(~a+1)
//或根据补码性质
lowbit(a)=a&(-a)

修改方法如下：

void modify(int p,int delta)
    {
        while (p<=N)
        {
            c[p]+=delta;
            p+=lowbit(p);
        }
    }

求前缀和如下：

int sum(int p)
    {
        int rs=0;
        while (p)
        {
            rs+=C[p];
            p-=lowbit(p);
        }
        return rs;
    }

下面是Java实现代码：

package com.yc.tree;

import java.util.Arrays;

public class BinaryIndexTree {
	static int[] c;
	int n;
	public BinaryIndexTree(int n) {
		this.n = n;
		c = new int[n+1];
	}

	int lowbit(int x) {
		return x & (x ^ (x-1));
	}
	/**
	 * 更新一个元素，初始数组c都是0，所以可以用这个方法初始化c，这时候增加与更新是等价的
	 * @param p    更新第p个元素，索引从1开始
	 * @param d    增加的值，不是更新后的值
	 */
	void update(int p, int d) {
		while (p <= n) {
			c[p] += d;
			p += lowbit(p);
		}
	}

	/**
	 * 计算从第一个元素到第p个元素的和
	 * @param p
	 * @return
	 */
	int sum(int p) {
		int ret = 0;
		while (p > 0) {
			ret += c[p];
			p -= lowbit(p);
		}
		return ret;
	}

	/**
	 * 计算从第s个元素到第e个元素的和
	 * @param s
	 * @param e
	 * @return
	 */
	int sum(int s, int e){
		if(s > n || e < 1 || s > e || s < 1 || e > n){
			System.out.println("input error!");
			return -1;
		}
		return sum(e) - sum(s - 1);
	}
	public static void main(String[] args) {
		int[] numbers = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
		BinaryIndexTree bit = new BinaryIndexTree(numbers.length);
		for (int i=0; i<numbers.length; i++) {
			bit.update(i+1, numbers[i]);
		}
		System.out.println( Arrays.toString(c));
		System.out.println("1-6的和为："+bit.sum(6));
		//第三个元素 +4后
		bit.update(3, 4);
		System.out.println( "第三个元素 +4后:"+Arrays.toString(c));
		System.out.println("第三个元素 +4后.2-6的和为："+bit.sum(2,6));
	}
}

测试结果如下：

[0, 1, 3, 3, 10, 5, 11, 7, 36, 9]
1-6的和为：21
第三个元素 +4后:[0, 1, 3, 7, 14, 5, 11, 7, 40, 9]
第三个元素 +4后.2-6的和为：24